dunia matematika rumus yang indah dan cepat di tangkap

Contoh 2
Diketahui matriks-matriks: A = dan B =

rumus cepat matematikarumus cepat
dunia matematika
http://www.duniaedukasi.net/search/label/MAPEL MATEMATIKA SMA
http://www.duniaedukasi.net/2010/05/persamaan-garis-singgung-lingkaran.html
http://www.duniaedukasi.net/2010/05/sistem-persamaan-linear-dan-kuadrat.html
http://www.duniaedukasi.net/2010/10/himpunan-determinan.html
http://www.duniaedukasi.net/2010/10/fungsi-dan-persamaan-eksponen.html
http://www.duniaedukasi.net/2010/06/operasi-aljabar-pada-matriks.html

http://downloads.ziddu.com/downloadfile/12397286/soal-dan-jawaban-Olimpiade-mat-tk-kab-2010.pdf.htm
Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK) disusun oleh sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang memiliki dua variabel. SPLK terdiri dari 2 jenis, yaitu: (1) SPLK Eksplisit dan (2) SPLK Impilsit.
(1) SPLK Eksplisit

(2) SPLK Implisit

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Eksplisit

SPLK Eksplisit
Bentuk umum SPLK eksplisit ditulis sebagai berikut:
dengan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.

Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLK Eksplisit adalah sebagai berikut:

1. Substitusikan persamaan linear y = ax + b ke persamaan kuadrat y = px² + qx + r, diperoleh
         ax + b = px² + qx + r
     px² + (q - a)x + (r - b) = 0, dengan menggunakan pemfaktoran atau rumus ABC diperoleh nilai-nilai x (jika ada).
   
   
2. Nilai-nilai x yang didapat dari langkah (1) disubtitusikan ke persamaan y = ax + b sehingga diperoleh nilai y. Pasangan nilai (x, y) merupakan himpunan penyelesaian SPLK.
   

Banyak anggota himpunan penyelesaian pada persamaan kuadrat px² + (q - a)x + (r - b) = 0 dapat ditentukan dengan menggunakan diskriminan yang dinotasikan dengan D, dimana D = b² - 4ac.
Diskriminan dari px² + (q - a)x + (r - b) = 0 adalah D = (q - a)² - 4p(r - b).
Jika D > 0 maka SPLK mempunyai dua anggota himpunan penyelesaian.
Jika D = 0 maka SPLK mempunyai satu anggota himpunan penyelesaian.
Jika D < 0 maka SPLK tidak mempunyai anggota himpunan penyelesaian.


Pasangan nilai (x, y) yang merupakan himpunan penyelesaian SPLK dapat ditafsirkan secara Geometri sebagai koordinat titik potong antara garis y = ax + b dengan parabola y = px² + qx + r. Kedudukan garis terhadap parabola dapat ditentukan dengan nilai diskriminan D = (q- a)² - 4p(r - b).
Jika D > 0 maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan.
Jika D = 0 maka garis memotong parabola tepat di satu titik atau dikatakan garis menyinggung parabola
Jika D < 0 maka garis tidak memotong maupun menyinggung parabola.

Contoh 1

Tentukan banyak anggota himpunan penyelesaian SPLK di bawah ini.

a. y = x + 7
    y = x² + 4x - 12

   Jawab :

   Substitusikan persamaan y = x + 7 ke persamaan y = x² + 4x - 12 diperoleh
                  x + 7 = x² + 4x - 12
   x² + 3x - 19 = 0
                    D = 3² - 4(1)(-19)
                    D = 9 + 76
                    D = 85

                           Karena D > 0, jadi SPLK mempunyai 2 anggota himpunan penyelesaian.
                         

b. y = -2x + 5
    y = x² + 6x + 21
    Jawab :

    Substitusikan persamaan y = -2x + 5 ke persamaan y = x² + 6x + 21 diperoleh
                -2x + 5 = x² + 6x + 21
   x² + 8x + 16 = 0
                     D = 8² - 4(1)( 16)

                     D = 64 - 64
                    D = 0
   Karena D = 0, jadi SPLK mempunyai 1 anggota himpunan penyelesaian.

c. y = 3x - 4
    y = x² + 6x + 9
    Jawab : 

   Substitusikan persamaan y = 3x - 4 ke persamaan y = x² + 6x + 9 diperoleh
                   3x - 4 = x² + 6x + 9
     x² + 3x + 13 = 0
                      D = 3² - 4(1)( 13)
                      D = 9 - 52
                      D = -43
   Karena D < 0, jadi SPLK tidak mempunyai anggota himpunan penyelesaian.

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK y = 2x + 8
 y = x² + 4x
Jawab:
Substitusikan persamaan y = 2x + 8 ke persamaan y = x² + 4x, diperoleh
              2x + 8 = x² + 4x                                 
    x² + 2x - 8 = 0
(x + 4)(x - 2) = 0
x = -4 atau x = 2
    x = -4   y = 2(-4) + 8 = 0
    x = 2    y = 2(2) + 8 = 12
Himpunan penyelesaian ={(-4, 0), (2, 12)}

Contoh 3

Diketahui persamaan garis y = x + 2 dan persamaan parabola y = x² - 2x - 8.
Tentukan: a. koordinat titik potong antara garis dan parabola
                 b. sketsa grafiknya.
Jawab:
a. Substitusikan persamaan garis y = x + 2 ke persamaan parabola y = x² - 2x - 8, diperoleh
                    x + 2 = x² - 2x - 8                            
       x² - 3x - 10 = 0
     (x + 2)(x - 5) = 0
      x = -2 atau x = 5
         x = -2   y = -2 + 2 = 0
         x = 5    y = 5 + 2 = 7     
         Koordinat titik potong antara garis dan parabola adalah (-2, 0) dan (5, 7)

b. Grafik

    y = x + 2

x	0	-2
y	2	0

                                                           
    y = x² - 2x - 8

x	0	-2 atau 4	1
y	-8	0	-9

pustekkom depdiknas © 2008

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit

Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk eksplisit apabila persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y).
Contoh: (1) x = 5y + 20                                    (3) y = x² +2x - 15   
              (2) y = 4x - 8                                       (4) x = y² + 8y +12

Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk implisit apabila persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x,y)
Contoh: (1) x² + y² + 25 = 0                              (3) x² - 6xy + y² + 8y = 0   
              (2) x² + y² - 4x +  6y = 0                      (4) x² + 2xy + y² - 10y + 9 = 0

Bentuk umum SPLK implisit ditulis sebagai berikut:

Dengan a, b, c, d, e, f, p, q, r merupakan bilangan-bilangan real.

A. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit yang Tidak Dapat Difaktorkan

Penyelesaian SPLK implisit yang tidak difaktorkan adalah sebagai berikut.

1. Pada persamaan linear px + qy + r = 0, nyatakan x dalam y atau y dalam x.
2. Substitusikan x atau y dari persamaan linear ke persamaan kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.
3. Selesaikan persamaan kuadrat dari langkah (2) sehingga diperoleh nilai x atau y, kemudian substitusikan nilai x atau y ke persamaan linear.

Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian SPLK

Jawab:
x + y - 4 = 0 y = -x + 4
Substitusikan y ke persamaan x² + y² - 10 = 0
           x² + (-x + 4)² - 10 = 0
  x² + x² - 8x + 16 - 10 = 0
                 2x² - 8x + 6 = 0
                   x² - 4x + 3 = 0
                (x - 1) (x - 3) = 0
   x = 1 atau x = 3
       x = 1 y = -1 + 4 = 3
       x = 3  y = -3 + 4 = 1

         

Jadi, himpunan penyelesaian = {(1, 3) atau (3, 1)}          

         
         

Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian SPLK
Jawab:
x - y = 5 x = y + 5
Substitusikan x ke persamaan x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0
            (y + 5)² + y² - 2(y + 5) + 4y + 1 = 0
y² + 10y + 25 + y² - 2y - 10 + 4y + 1 = 0
                                   2y² + 12y + 16 = 0
                                         y² + 6y + 8 = 0
                                     (y + 2) (y + 4) = 0

    y = -2 atau y = -4

        y = -2 x = -2 + 5 = 3

        y = -4 x = -4 + 5 = 1

Jadi, himpunan penyelesaian = {(1, -4), (3, -2)}.

B. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit yang Dapat Difaktorkan

Penyelesaian SPLK implisit yang dapat difaktorkan adalah sebagai berikut.

1. Ubah persamaan ax² + by² + cxy + dx + ey + f = 0 menjadi bentuk (mx + ny)² - s² = 0 selanjutnya diubah menjadi {(mx + ny) + s}{(mx + ny) -s} = 0, sehingga diperoleh
   mx + ny + s = 0 atau mx + ny -s = 0
2. Eliminasikan persamaan px + qy + r = 0 dengan mx + ny + s = 0 dan mx + ny -s = 0 sehingga diperolah nilai x dan y.

Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian SPLK

Jawab:
           x² - 6xy + 9y² - 36 = 0
                 (x - 3y)² - 36 = 0
   (x - 3y + 6)(x - 3y - 6) = 0
   x - 3y + 6 = 0 atau x - 3y - 6 = 0
   x - 3y = -6  atau x - 3y = 6
Eliminasikan x + y = 2 dengan x - 3y = -6  dan x - 3y = 6

   x + y = 2

  x - 3y = -6

       4y = 8             x + 2 = 8

         y = 2                   x = 0

   x + y = 2

  x - 3y = -6

       4y = 8             x + 2 = 8

         y = 2                   x = 0

Jadi, himpunan penyelesaian = {(0, 2), (3, -1)}

Simulasi

Selasa, 25 Mei 2010

Lingkaran adalah salah satu bentuk irisan kerucut. Selain lingkaran, terdapat tiga macam irisan kerucut lainnya, yaitu ellips, parabola, dan hyperbola.

Pengenalan Matriks

Matriks adalah suatu kumpulan bilangan (disebut elemen atau unsur) yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk persegi panjang.

Bentuk umum matriks :

Matriks A berukuran (berordo) i x j yang mempunyai arti bahwa matriks A memiliki i baris dan j kolom.
Beberapa contoh elemen (unsur) matriks A adalah :
a _{1 . 2} = adalah elemen matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-2
a _{3 . 3} = adalah elemen matriks A pada baris ke-3 dan kolom ke-3
a _{i . j} = adalah elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j

Syarat Penjumlahan

Dua buah matriks dapat dijumlahkan apabila ukuran (ordo) kedua matriks tersebut sama.
Penjumlahan dua matriks dilakukan dengan menjumlahkan setiap elemen seletak pada kedua matriks tersebut.
Matriks hasil penjumlahan akan sama dengan matriks yang dijumlahkan.

Contoh
Diketahui matriks-matriks :

Manakah diantara operasi-operasi penjumlahan dua matriks berikut yang dapat dilakukan :

1. A + B Tidak dapat dilakukan, ordo matriks A adalah 2x3 sedangkan ordo matriks B adalah 3x2
2. A + C Tidak dapat dilakukan, ordo matriks A adalah 2x3 sedangkan ordo matriks C adalah 2x2
3. B + D Dapat dilakukan, karena ordo matriks B sama dengan ordo matriks D, yaitu 3x2
4. C + D Tidak dapat dilakukan, ordo matriks C adalah 2x2 sedangkan ordo matriks D adalah 3x2
5. A + E Dapat dilakukan, karena ordo matriks A sama dengan ordo matriks E, yaitu 2x3

Penjumlahan Dua Matriks

Sifat Komutatif

Contoh
Diketahui matriks-matriks: A = dan B =

Tentukan hasil penjumlahan antara dua matriks berikut :
a. A + B
b. B + A

Jawab

a. Ordo matriks A dan ordo matriks B sama, yaitu 2x3, maka :

b. Ordo matriks B dan ordo matriks A sama, yaitu 2x3, maka :

Nampak bahwa A + B = B + A = , berarti pada operasi penjumlahan matriks berlaku sifat komutatif.

Sifat Assosiatif< Contoh
Diketahui matriks-matriks: A = , B = , dan C =

Tentukan hasil penjumlahan antara tiga matriks berikut :
a. [A + B] + C
b. A + [B + C]

Jawab

a. Ordo matriks A, B, dan C sama, yaitu 2x3, maka :

b. Ordo matriks A, B, dan C sama, yaitu 2x3, maka :


Nampak bahwa [A + B] + C = A + [B + C] = , berarti pada operasi penjumlahan matriks berlaku sifat assosiatif.

Sifat Unsur Identitas

Contoh
Diketahui matriks-matriks: A = dan O =

Tentukan hasil penjumlahan antara dua matriks berikut :
a. A + O
b. O + A

Jawab
a. Ordo matriks A dan ordo matriks O sama, yaitu 2x2, maka :


b. Ordo matriks O dan ordo matriks A sama, yaitu 2x2, maka :

Nampak dari A + O = O + A = A, berarti pada operasi penjumlahan matriks terdapat unsur identitas.


Sifat Invers Jumlah

Contoh
Diketahui matriks-matriks: A = dan B =

Tentukan hasil penjumlahan antara dua matriks berikut :
a. A + B
b. B + A

Jawab

a. Ordo matriks A dan ordo matriks B sama, yaitu 2x2, maka :


b. Ordo matriks B dan ordo matriks A sama, yaitu 2x2, maka :


Nampak dari A + B = B + A = O, berarti pada operasi penjumlahan matriks terdapat invers penjumlahan.
Dalam hal ini, matriks A dan matriks B saling berlawanan (invers) satu sama lain.

Pengurangan Dua Matriks

Syarat Pengurangan

Sebuah matriks dapat dikurangkan oleh matriks lain yang ordonya sama.
Pengurangan antara dua matriks dapat dilakukan dengan mengurangkan setiap elemen seletak pada kedua matriks tersebut.
Ordo Matriks hasil pengurangan akan sama dengan ordo matriks yang dioperasikan.

Contoh 1
Diketahui matriks-matriks :

Manakah diantara operasi-operasi pengurangan matriks berikut yang dapat dilakukan :

1. A – B Tidak dapat dilakukan, ordo matriks A adalah 2x3 sedangkan ordo matriks B adalah 3x2
2. A – C Tidak dapat dilakukan, ordo matriks A adalah 2x3 sedangkan ordo matriks C adalah 2x2
3. B – D Dapat dilakukan, karena ordo matriks B sama dengan ordo matriks D, yaitu 3x2
4. C – D Tidak dapat dilakukan, ordo matriks C adalah 2x2 sedangkan ordo matriks D adalah 3x2
5. A – E Dapat dilakukan, karena ordo matriks A sama dengan ordo matriks E, yaitu 2x3

Contoh 2
Diketahui matriks-matriks: A = dan B =

Tentukan hasil pengurangan antara dua matriks berikut :
a. A – B
b. B – A

Jawab

a. Ordo matriks A dan ordo matriks B sama, yaitu 2x3, maka :

b. Ordo matriks B dan ordo matriks A sama, yaitu 2x3, maka :



Nampak bahwa A – B ≠ B – A, berarti pada operasi pengurangan matriks tidak berlaku sifat komutatif.

Perkalian Matriks

Perkalian Skalar dengan Matriks

Perkalian skalar (bilangan real) k dengan matriks A adalah kA.
Hasil perkalian diperoleh setelah setiap elemen pada matriks A dikalikan dengan k dan hasilnya berupa matriks baru dengan elemen-elemennya merupakan hasil kelipatan dengan skalar k dan ordonya sama dengan ordo matriks A.

Contoh 1
Tentukan hasil kali matriks A = dengan skalar k.

Jawab



Nampak bahwa matriks kA mempunyai ordo sama dengan matriks A dan elemen-elemennya merupakan k kali elemen-elemen matriks A.


Contoh 2
Jika matriks A = , tentukan matriks :
a. 3A
b. A
Jawab
a. 3A  = 3. =

b. A =  =

Contoh 3
Jika matriks A = , p = 2, dan q = 3, tentukan :
a. (p + q).A
b. p.A + q.A

Jawab
a. p + q = 2 + 3 = 5, maka (p+q).A = 5.A =
b. p.A + q.A = 2.A + 3.A = + =

Nampak bahwa (p + q).A = pA + qA

Contoh 4
Jika matriks A = , B = , dan p = 2 tentukan :
a. p (A + B)
b. pA + pB

Jawab

a. p (A + B) = 2. [+ ] =

b. pA + pB = 2.A + 2.B = 2. + 2.

                                     =

                                     =              

Nampak bahwa p.(A + B) = pA + pB

Contoh 5

Jika matriks A = , p = 2, dan q = 3 tentukan :
a. p(qA)
b. (pq)A

Jawab
a. p(qA) = 2.(3A)= = =
b. (pq)A = (2.3)A = 6A = 6.=
Nampak bahwa p.(qA) = (pq)A

Contoh 6

Jika matriks A = , B = , p = 2 tentukan :
a. p (A + B)
b. pA + pB

Jawab
a. p (A + B) = 2. + = =

b. pA + pB = 2.A + 2.B = 2.+ 2.

                                     =

                                     =

Nampak bahwa p.(A + B) = pA + pB

Syarat Perkalian Dua Matriks

Jika matriks A_{m x n} dan matriks B_{p x q} dikalikan, maka :

• Banyaknya kolom matriks A harus sama dengan banyaknya kolom matriks B, sehingga n = p
• Matriks hasil perkalian antara A dan B adalah matriks dengan ordo m x q
• Perkalian dilakukan dengan menjumlahkan hasil kali setiap elemen baris matriks A dengan setiap elemen kolom matriks B yang sesuai

Contoh 1
Diketahui matriks-matriks :

Manakah diantara operasi-operasi perkalian matriks berikut yang dapat dilakukan :

1. A x B Dapat, karena ordo matriks A adalah 2x3 dan ordo matriks B adalah 3x2, kolom matriks A sama dengan baris matriks B
2. A x C Tidak, ordo matriks A adalah 2x3 sedangkan ordo matriks C adalah 2x2, kolom matriks A tidak sama dengan baris matriks C
3. B x C Dapat, ordo matriks B adalah 3x2 dan ordo matriks C adalah 2x2, kolom matriks B sama dengan baris matriks C
4. C x D Tidak, ordo matriks C adalah 2x2 sedangkan ordo matriks D adalah 3x2, kolom matriks C tidak sama dengan baris matriks D
   

Tentukan dari perkalian matriks A x B

Jawab

Contoh 3

Diketahui matriks-matriks :

A =  dan B =

Tentukan hasil dari perkalian matriks A x B

Jawab

A x B =

Contoh 4

Diketahui matriks-matriks :

A =  

Tentukan:

a. A² b. A³

Jawab

a. A² = A x A                                                  

b. A³ = A x A x A                           

Latihan

Bentuk aⁿ (baca : a pangkat n) disebut bentuk eksponensial atau perpangkatan dengan a disebut basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat.















 semunya akan berakhir, maka persiapkamlah diri anda untuk jalanin hidup ini.